Question

【題目】如圖所示，在四棱錐中，底面是邊長為1的菱形，，面，，、分別為、的中點.

（1）證明：直線平面；

（2）求異面直線與所成角的大小；

（3）求點到平面的距離．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）（3）

【解析】

(1) 取的中點，構造平行四邊形，再根據線面平行的判定定理完成證明；

(2)根據平行可知異面直線與所成的角即為或其補角，然后根據長度進行求解；

(3)根據線面平行將問題轉化為到平面的距離，然后作出在平面內的射影，根據長度即可計算出到平面的距離，即可求解出點到平面的距離.

（1）取的中點，連接、.則四邊形為平行四邊形，

∴，又∵平面，平面，

∴平面.

（2）∵，

∴為異面直線與所成的角（或其補角）

作于點，連接.

∵平面，∴，∵，∴.

∵，

∴，.

所以異面直線與所成的角為.

（3）∵平面，∴點和點到平面的距離相等.

連接，過點作于點，

∵，，∴平面，∴，

又∵，∴平面，

線段的長就是點到平面的距離，與點到平面的距離相等

，，

.

所以點到平面的距離為.