Question

【題目】已知f（x）＝﹣x+|2x+1|，不等式f（x）＜2的解集是M．

（Ⅰ）求集合M；

（Ⅱ）設(shè)a，b∈M，證明：|ab|+1＞|a|+|b|．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）M＝{x|﹣1＜x＜1}；（Ⅱ）見(jiàn)解析

【解析】

（Ⅰ）分，x去絕對(duì)值可得M＝{x|﹣1＜x＜1}．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得|a|＜1，|b|＜1，將不等式作差即可得證．

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，f（x）＝﹣x+2x+1＝x+1．

由f（x）＜2，得x＜1，所以x＜1．

當(dāng)x時(shí)，f（x）＝﹣x﹣2x﹣1＝﹣3x﹣1．

由f（x）＜2，得x＞﹣1，所以﹣1

綜上可知，M＝{x|﹣1＜x＜1}．

（Ⅱ）因?yàn)閍，b∈M，所以﹣1＜a，b＜1，即|a|＜1，|b|＜1

所以|ab|+1﹣（|a|+|b|）＝（|a|﹣1）（|b|﹣1）＞0

故|ab|+1＞|a|+|b|．