Question

（本小題14分）
已知函數(shù)的圖像在[a,b]上連續(xù)不斷，定義：
，，其中表示函數(shù)在D上的最小值，表示函數(shù)在D上的最大值，若存在最小正整數(shù)k，使得對(duì)任意的成立，則稱函數(shù)為上的“k階收縮函數(shù)”
（1）若，試寫出，的表達(dá)式；
（2）已知函數(shù)試判斷是否為[-1,4]上的“k階收縮函數(shù)”，
如果是，求出對(duì)應(yīng)的k，如果不是，請(qǐng)說明理由；
已知，函數(shù)是[0,b]上的2階收縮函數(shù)，求b的取值范圍

Answer 1

解：（1）由題意可得：，。
（2），，
當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，
綜上所述，。
即存在，使得是[-1,4]上的“4階收縮函數(shù)”。
（3），令得或。
函數(shù)的變化情況如下：

x		0		2
	-	0	+	0	-
		0		4

令得或。
（i）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，因此，，。因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823170728601523.gif" style="vertical-align:middle;" />是上的“二階收縮函數(shù)”，所以，
①對(duì)恒成立；
②存在，使得成立。
①即：對(duì)恒成立，由解得或。
要使對(duì)恒成立，需且只需。
②即：存在，使得成立。
由解得或。
所以，只需。
綜合①②可得。
（i i）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
因此，，，，
顯然當(dāng)時(shí)，不成立。
（i i i）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因此，，，，
顯然當(dāng)時(shí)，不成立。
綜合（i）（i i）（i i i）可得：

略