Question

【題目】已知橢圓的右焦點為，點在橢圓上，且點到點的最大距離為，點到點的最小距離為.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）若直線交橢圓于、兩點，坐標原點到直線的距離為，求面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）根據題意可得出關于、的方程組，求出這兩個量的值，進而可得出的值，由此可得出橢圓的標準方程；

（2）分兩種情況討論：①軸，求得；②直線的斜率存在時，設直線的方程為，設點、，由直線與圓相切得出，再將直線的方程與橢圓的方程聯立，利用韋達定理結合弦長公式可求得的最大值，進而可求得面積的最大值.

（1）設橢圓的焦距為，則，

解得，，

因此，橢圓的標準方程為；

（2）設、.

①當軸時，；

②當與軸不垂直時，設直線的方程為，則，

.

將代入橢圓方程整理，得，

，.

，

當且僅當時，等號成立.

，因此，面積的最大值為.