Question

已知頂點為原點的拋物線的焦點與橢圓的右焦點重合與在第一和第四象限的交點分別為.
（1）若△AOB是邊長為的正三角形，求拋物線的方程；
（2）若，求橢圓的離心率；
（3）點為橢圓上的任一點，若直線、分別與軸交于點和，證明：．

Answer 1

（1）；（2）；（3）證明過程詳見試題解析.

試題分析：（1）由△AOB是邊長為的正三角形得到,代入拋物線方程中，可以得到所求拋物線方程為；（2）由可知點的橫坐標是，因此可結合建立關于的方程為：，解出；（3）利用設而不求的思想，可先設三點后代入橢圓方程中，由于的方程為，求出，，那么化簡后得到：.
試題解析：（1）設橢圓的右焦點為，依題意得拋物線的方程為 
∵△是邊長為的正三角形，
∴點A的坐標是，
代入拋物線的方程解得，
故所求拋物線的方程為
（2）∵, ∴ 點的橫坐標是
代入橢圓方程解得，即點的坐標是
∵ 點在拋物線上，
∴，
將代入上式整理得：，
即，解得
∵ ，故所求橢圓的離心率.
（3）證明：設，代入橢圓方程得

而直線的方程為
令得.
在中，以代換得
∴  .