Question

（1）證明：函數f（x）=x+

4

x

在（2，+∞）上單調遞增；
（2）探究函數f（x）=x+

a

x

（a＞0）的單調性（只需寫出結論，不用證明）．

Answer 1

分析：（1）利用增函數的定義即可證明；
（2）利用奇函數和函數的單調性及“勾函數”的性質即可得出．

解答：解：（1）f（x）在（0，2]上是減函數，在[2，+∞）上是增函數．
證明：設任意x₁，x₂∈（2，+∞），且x₁＜x₂
則f(x1)-f(x2)=x1-x2+

4

x1

-

4

x2

=(x1-x2)

x1x2-4

x1x2

，
由x₁＜x₂得x₁-x₂＜0，由x₁，x₂∈（2，+∞）得x₁x₂＞4．
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
∴函數f（x）=x+

4

x

在（2，+∞）上單調遞增．        
（2）由上及f（x）是（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函數，可得結論：
f（x）在(-∞，-

a

]和[

a

，+∞)上是增函數，
f（x）在[-

a

，0)和(0，

a

]上是減函數．

點評：熟練掌握奇函數和函數的單調性及“勾函數”的性質是解題的關鍵．