Question

（2012•四川）橢圓

x2

4

+

y2

3

=1的左焦點為F，直線x=m與橢圓相交于點A、B，當△FAB的周長最大時，△FAB的面積是

3

．

Answer 1

分析：先畫出圖象，結合圖象得到△FAB的周長最大時對應的直線所在位置．即可求出結論．

解答：解：設橢圓的右焦點為E．如圖：
由橢圓的定義得：△FAB的周長：AB+AF+BF=AB+（2a-AE）+（2a-BE）=4a+AB-AE-BE；
∵AE+BE≥AB；
∴AB-AE-BE≤0，當AB過點E時取等號；
∴AB+AF+BF=4a+AB-AE-BE≤4a；
即直線x=m過橢圓的右焦點E時△FAB的周長最大；
此時△FAB的高為：EF=2．
此時直線x=m=c=1；
把x=1代入橢圓

x2

4

+

y2

3

=1的方程得：y=±

3

2

．
∴AB=3．
所以：△FAB的面積等于：S_△FAB=

1

2

×3×EF=

1

2

×3×2=3．
故答案為：3．

點評：本題主要考察橢圓的簡單性質．在解決涉及到圓錐曲線上的點與焦點之間的關系的問題中，圓錐曲線的定義往往是解題的突破口．解決本題的關鍵在于利用定義求出周長的表達式．