Question

（2012•四川）橢圓

x2

a2

+

y2

5

=1(a為定值，且a＞

5

)的左焦點為F，直線x=m與橢圓相交于點A、B，△FAB的周長的最大值是12，則該橢圓的離心率是

2

3

．

Answer 1

分析：先畫出圖象，結合圖象以及橢圓的定義求出△FAB的周長的表達式，進而求出何時周長最大，即可求出橢圓的離心率．

解答：解：設橢圓的右焦點E．如圖：
由橢圓的定義得：△FAB的周長為：AB+AF+BF=AB+（2a-AE）+（2a-BE）=4a+AB-AE-BE；
∵AE+BE≥AB；
∴AB-AE-BE≤0，當AB過點E時取等號；
∴△FAB的周長：AB+AF+BF=4a+AB-AE-BE≤4a；
∴△FAB的周長的最大值是4a=12⇒a=3；
∴e=

c

a

=

a2-b2

a

=

2

3

．
故答案：

2

3

．

點評：本題主要考察橢圓的簡單性質．在解決涉及到圓錐曲線上的點與焦點之間的關系的問題中，圓錐曲線的定義往往是解題的突破口．