Question

【題目】如圖，已知雙曲線C1： ，曲線C2：|y|=|x|+1，P是平面內一點，若存在過點P的直線與C1 ， C2都有公共點，則稱P為“C1﹣C2型點”

（1）在正確證明C1的左焦點是“C1﹣C2型點”時，要使用一條過該焦點的直線，試寫出一條這樣的直線的方程（不要求驗證）；
（2）設直線y=kx與C2有公共點，求證|k|＞1，進而證明原點不是“C1﹣C2型點”；
（3）求證：圓x2+y2= 內的點都不是“C1﹣C2型點”

Answer 1

【答案】
（1）解：C1的左焦點為（ ），寫出的直線方程可以是以下形式：

或 ，其中

（2）證明：因為直線y=kx與C2有公共點，

所以方程組 有實數解，因此|kx|=|x|+1，得 ．

若原點是“C1﹣C2型點”，則存在過原點的直線與C1、C2都有公共點．

考慮過原點與C2有公共點的直線x=0或y=kx（|k|＞1）．

顯然直線x=0與C1無公共點．

如果直線為y=kx（|k|＞1），則由方程組 ，得 ，矛盾．

所以直線y=kx（|k|＞1）與C1也無公共點．

因此原點不是“C1﹣C2型點”

（3）證明：記圓O： ，取圓O內的一點Q，設有經過Q的直線l與C1，C2都有公共點，顯然l不與x軸垂直，

故可設l：y=kx+b．

若|k|≤1，由于圓O夾在兩組平行線y=x±1與y=﹣x±1之間，因此圓O也夾在直線y=kx±1與y=﹣kx±1之間，

從而過Q且以k為斜率的直線l與C2無公共點，矛盾，所以|k|＞1．

因為l與C1由公共點，所以方程組 有實數解，

得（1﹣2k2）x2﹣4kbx﹣2b2﹣2=0．

因為|k|＞1，所以1﹣2k2≠0，

因此△=（4kb）2﹣4（1﹣2k2）（﹣2b2﹣2）=8（b2+1﹣2k2）≥0，

即b2≥2k2﹣1．

因為圓O的圓心（0，0）到直線l的距離 ，

所以 ，從而 ，得k2＜1，與|k|＞1矛盾．

因此，圓 內的點不是“C1﹣C2型點”

【解析】（1）由雙曲線方程可知，雙曲線的左焦點為（ ），當過左焦點的直線的斜率不存在時滿足左焦點是“C1﹣C2型點”，當斜率存在時，要保證斜率的絕對值大于等于該焦點與（0，1）連線的斜率；（2）由直線y=kx與C2有公共點聯立方程組有實數解得到|k|＞1，分過原點的直線斜率不存在和斜率存在兩種情況說明過遠點的直線不可能同時與C1和C2有公共點；（3）由給出的圓的方程得到圓的圖形夾在直線y=x±1與y=﹣x±1之間，進而說明當|k|≤1時過圓 內的點且斜率為k的直線與C2無公共點，當|k|＞1時，過圓 內的點且斜率為k的直線與C2有公共點，再由圓心到直線的距離小于半徑列式得出k的范圍，結果與|k|＞1矛盾．從而證明了結論．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解點到直線的距離公式的相關知識，掌握點到直線的距離為：．