Question

【題目】雙流中學2016年高中畢業的大一學生假期參加社會實踐活動，為提高某套叢書的銷量，準備舉辦一場展銷會，據市場調查，當每套叢書售價定為元時，銷售量可達到萬套，現出版社為配合該書商的活動，決定進行價格改革，將每套叢書的供貨價格分成固定價格和浮動價格兩部分，其中固定價格為30元，浮動價格（單位：元）與銷售量（單位：萬套）成反比，比例系數為10，假設不計其他成本，即銷售每套叢書的利潤=售價供貨價格.問：

（1）每套叢書售價定為100元時，書商所獲得的總利潤是多少萬元？

（2）每套叢書售價定為多少元時，單套叢書的利潤最大？

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）每套叢書定價為100元時，銷售量為萬套，

此時每套供貨價格為元，················· 3分

∴ 書商所獲得的總利潤為萬元．·········· 4分

（Ⅱ）每套叢書售價定為元時，由得， ，··· 5分

依題意，單套叢書利潤

·············· 7分

∴，

∵，∴，

由， ······· 10分

當且僅當，即時等號成立，此時

．

答：（Ⅰ）當每套叢書售價定為100元時，書商能獲得總利潤為340萬元；（Ⅱ）每套叢書售價定為140元時，單套利潤取得最大值100元．·························· 12分

（說明：學生未求出最大值不扣分）．

【解析】解：(1)每套叢書售價定為100元時，銷售量為15－0.1×100＝5(萬套)，此時每套供貨價格為30＋＝32(元)，書商所獲得的總利潤為5×(100－32)＝340(萬元)．

(2)每套叢書售價定為x元時，由

解得0<x<150.

依題意，單套叢書利潤

P＝x－(30＋)＝x－－30，

∴P＝－[(150－x)＋]＋120.

∵0<x<150，∴150－x>0，

由(150－x)＋≥2＝2×10＝20，

當且僅當150－x＝，即x＝140時等號成立，此時，Pmax＝－20＋120＝100.

∴當每套叢書售價定為100元時，書商獲得總利潤為340萬元，每套叢書售價定為140元時，單套叢書的利潤最大，最大值為100元．