Question

(本小題滿分12分) 求滿足下列條件的橢圓的標準方程．
（1）焦點在坐標軸上，且經過兩點；
（2）經過點（2，－3）且與橢圓具有共同的焦點．

Answer 1

（1） 。(2) 。

本題主要考查利用橢圓的定義與橢圓的簡單性質求橢圓的標準方程，解決此類問題的步驟是：首先確定標準方程的形式（焦點在x軸還是再y軸上），再根據條件求出 a，b，然后寫出橢圓的方程，此題屬于基礎題．
（1）當所求橢圓的焦點在軸上時，設它的標準方程為，依題意應有代入兩個點的坐標得到求解。
（2）橢圓的焦點坐標為，從而可設所求橢圓的方程為，然后經過點，得方程的求解。
解法1：①當所求橢圓的焦點在軸上時，設它的標準方程為，依題意應有，，解得，因為從而方程組無解；
②當所求橢圓的焦點在軸上時，設它的標準方程為，依題意應有，解得，所以所求橢圓的標準方程為。
故所求橢圓的標準方程為。
解法2：設所求橢圓的標準方程為，依題意得，解得，從而所求橢圓的標準方程為。
(2) ∵橢圓的焦點坐標為，從而可設所求橢圓的方程為，又∵經過點，從而得，解得或(舍去)，
故所求橢圓的標準方程為。