Question

（2013•淄博一模）已知向量

p m

=（sin（A-B），sin（

π

2

-A）），

p n

=（1，2sinB），

p m

•

p n

=-sin2C，其中A，B，C分別為△ABC的三邊a，b，c所對的角．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）若sinA+sinB=2sinC，且S_△ABC=

3

，求邊c的長．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)平面向量的坐標運算公式，可得sin（A-B）+2sin（

π

2

-A）sinB=-sin2C，利用誘導(dǎo)公式和兩角和與差的正弦公式化簡得sin（A+B）=-2sinCcosC，結(jié)合sin（A+B）=sinC算出cosC=-

1

2

，從而得到角C的大小為

2π

3

；
（II）根據(jù)正弦定理的面積公式，結(jié)合已知條件算出ab=4，再利用余弦定理算出c²=（a+b）²-ab．而由sinA+sinB=2sinC結(jié)合正弦定理得a+b=2c，從而得到關(guān)于c的方程，解之即可得到邊c=

2 3

3

．

解答：解：（I）∵向量

p m

=（sin（A-B），sin（

π

2

-A）），

p n

=（1，2sinB），
∴

p m

•

p n

=sin（A-B）+2sin（

π

2

-A）sinB=-sin2C，
即sinAcosB-cosAsinB+2cosAsinB=sin2C，
可得sin（A+B）=-2sinCcosC
∵A+B=π-C，可得sin（A+B）=sinC
∴sinC=-2sinCcosC，結(jié)合sinC＞0可得cosC=-

1

2

∵C∈（0，π），∴C=

2π

3

，即角C的大小為

2π

3

；
（II）∵S_△ABC=

1

2

absinC=

3

，且C=

2π

3

，∴ab=4
由余弦定理，得c²=a²+b²-2abcos

2π

3

=（a+b）²-ab
∵sinA+sinB=2sinC，∴根據(jù)正弦定理，得a+b=2c，
由此可得：c²=（a+b）²-ab=4c²-4，得3c²=4，解之得c=

2 3

3

．

點評：本題給出向量含有三角函數(shù)的坐標形式，在已知數(shù)量積的情況下求角C的大小并依此解三角形，著重考查了平面向量數(shù)量積運算公式和運用正余弦定理解三角形等知識，屬于中檔題．