Question

【題目】已知函數f（x）=2cos2x+2 sinxcosx+a，且當 時，f（x）的最小值為2．
（1）求a的值，并求f（x）的單調增區間；
（2）將函數y=f（x）的圖象上各點的縱坐標保持不變，橫坐標縮短到原來的 ，再把所得圖象向右平移 個單位，得到函數y=g（x），求方程g（x）=2在區間 上的所有根之和．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）=2cos2x+2 sinxcosx+a

=cos2x+1+ sin2x+a

=2sin（2x+ ）+a+1，

∵x∈[0， ]，

∴2x+ ∈[ ， ]，

∴f（x）min=a+2=2，故a=0，

∴f（x）=2sin（2x+ ）+1，

由2kπ﹣ ≤2x+ ≤2kπ+ （k∈Z），

解得：kπ﹣ ≤x≤kπ+ （k∈Z），

故f（x）的單調增區間是[kπ﹣ ，kπ+ ]（k∈Z）

（2）解：g（x）=2sin[4（x﹣ ）+ ]+1=2sin（4x﹣ ）+1，

由g（x）=2得sin（4x﹣ ）= ，

則4x﹣ =2kπ+ 或2kπ+ （k∈Z），

解得x= + 或 + ，（k∈Z）；

∵x∈[0， ]，

∴x= 或 ，故方程所有根之和為 + =

【解析】（1）利用三角函數中的恒等變換應用，可求得f（x）=2sin（2x+ ）+a+1，x∈[0， ]時f（x）的最小值為2，可求得a，利用正弦函數的單調性可求f（x）的單調增區間；（2）利用函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，可求得g（x）=2sin（4x﹣ ）+1，依題意，g（x）=2得sin（4x﹣ ）= ，x∈[0， ]，可求得x= 或 ，從而可得答案．
【考點精析】利用函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知圖象上所有點向左（右）平移個單位長度，得到函數的圖象；再將函數的圖象上所有點的橫坐標伸長（縮短）到原來的倍（縱坐標不變），得到函數的圖象；再將函數的圖象上所有點的縱坐標伸長（縮短）到原來的倍（橫坐標不變），得到函數的圖象．