Question

【題目】如圖，在三棱柱中，、分別是、的中點.

（1）設棱的中點為，證明：平面；

（2）若，，，且平面平面，求三棱柱的高.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）連接，證明出平面平面，然后利用平面與平面平行的性質可得出平面；

（2）將三棱柱的高轉化成三棱錐的高來計算，過點作交于點，可得出平面，計算出的長度，然后利用等體積法由計算出三棱錐的高.

（1）連接，在三棱柱中，，

是的中點，是的中點，，四邊形是平行四邊形，

，平面，平面，平面.

、分別是、的中點，，

又平面，平面，平面，

，、平面，平面平面.

平面，平面；

（2）三棱柱的高轉化成三棱錐的高，設為，

過點作交于點，

因為平面平面，平面平面，

又因為，平面，所以平面，

在中，，.

又因為，.

所以，所以，解得.

因此，三棱柱的高為.