Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面平面，，，為的中點，為上一點，交于點.

(1)證明：平面；

(2)求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)見解析(2)

【解析】試題分析：（1）連接交于點，連接，要證平面，轉證即可；

（2）取的中點為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，平面的法向量為，平面的法向量為利用公式即可得到二面角的余弦值.

試題解析：

（Ⅰ）證明：如圖5，連接交于點，連接，

∵平面 平面且為矩形，

∴平面，

∴．

則在直角三角形中，．

又∵為的中點，

∴．

又∵，則為的中點，

在三角形中，，

∵平面，

∴平面．

（Ⅱ）解：取的中點為坐標原點，建立如圖6所示的空間直角坐標系．

取的中點，連接，

在中，，分別為，的中點，，

在中，為的中點，則為的中點, 故．

，

，

設，，

則，．

設平面的法向量為

，

解得

平面的法向量為

設二面角的平面角為

，因為為銳角，

所以二面角的平面角的余弦值為．