Question

已知函數f(x)=

1-x

ax

+lnx．
（1）若函數f（x）在[1，+∞）上為增函數，求正實數a的取值范圍；
（2）當a=1時，求f（x）在[

1

2

，2]上的最大值和最小值；
（3）當a=1時，求證：對大于1的任意正整數n，都有lnn＞

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

n

．

Answer 1

分析：（1）對函數f（x）進行求導，令導函數大于等于0在[1，+∞）上恒成立即可求出a的范圍．
（2）將a=1代入函數f（x）的解析式，判斷其單調性進而得到最大值和最小值．
（3）先判斷函數f（x）的單調性，令x=

n

n-1

代入函數f（x）根據單調性得到不等式ln

n

n-1

＞

1

n

，令n=1，2，…代入可證．

解答：解：（1）∵f(x)=

1-x

ax

+lnx
∴f′(x)=

ax-1

ax2

(a＞0)
∵函數f（x）在[1，+∞）上為增函數
∴f′(x)=

ax-1

ax2

≥0對x∈[1，+∞）恒成立，
∴ax-1≥0對x∈[1，+∞）恒成立，即a≥

1

x

對x∈[1，+∞）恒成立
∴a≥1
（2）當a=1時，f′(x)=

x-1

x2

，
∴當x∈[

1

2

，1)時，f′（x）＜0，故f（x）在x∈[

1

2

，1)上單調遞減；
當x∈（1，2]時，f′（x）＞0，故f（x）在x∈（1，2]上單調遞增，
∴f（x）在區間[

1

2

，2]上有唯一極小值點，故f（x）_min=f（x）_極小值=f（1）=0
又f(

1

2

)=1-ln2，f(2)=-

1

2

+ln2，f(

1

2

)-f(2)=

3

2

-2ln2=

lne3-ln16

2

∵e³＞16
∴f(

1

2

)-f(2)＞0，即f(

1

2

)＞f(2)
∴f（x）在區間[

1

2

，2]上的最大值f(x)max=f(

1

2

)=1-ln2
綜上可知，函數f（x）在[

1

2

，2]上的最大值是1-ln2，最小值是0．
（3）當a=1時，f(x)=

1-x

x

+lnx，f′(x)=

x-1

x2

，
故f（x）在[1，+∞）上為增函數．
當n＞1時，令x=

n

n-1

，則x＞1，故f（x）＞f（1）=0
∴f(

n

n-1

)=

1- n n-1

n n-1

+ln

n

n-1

=-

1

n

+ln

n

n-1

＞0，即ln

n

n-1

＞

1

n

∴ln

2

1

＞

1

2

，ln

3

2

＞

1

3

，ln

4

3

＞

1

4

，…，ln

n

n-1

＞

1

n

∴ln

2

1

+ln

3

2

+ln

4

3

+…+ln

n

n-1

＞

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

n

∴lnn＞

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

n

即對大于1的任意正整數n，都有lnn＞

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

n

點評：本題主要考查函數的單調性與其導函數的正負之間的關系，即當導函數大于0時原函數單調遞增，當導函數小于0時原函數單調遞減．