Question

【題目】如圖，已知在四棱錐中，底面為矩形，側面底面，，.

（1）求二面角的大小；

（2）求點到平面的距離.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）在平面PBC內作PO⊥BC，O為垂足，在底面ABCD內作OE⊥BC，OE∩AD＝E，連結PE，由已知ABCD為矩形，推導出PO⊥底面ABCD，PO⊥AD，OE⊥BC，從而OE⊥AD，AD⊥平面POE，AD⊥PE，再由AD⊥OE，得∠OEP是二面角PADB的平面角．由此能求出二面角PADB的大小；

（2）推導出BC∥平面PAD，從而點B到平面PAD的距離等于點O到平面PA的距離．在Rt△POE中作OH⊥PE，H為垂足，推導出OH⊥平面PAD，從而點O到平面PAD的距離即為OH的長，此能求出點B到平面PAD的距離．

解：（1）在平面內作，為垂足，

在中，，所以.

在底面內作，，連結，

由已知為矩形，易知也是矩形，故.

又平面底面，平面底面，

平面，所以底面，

而底面，所以，

又，，所以，

而平面，平面，

，所以平面，

因為平面，所以，

又因為，所以是二面角的平面角.

因為底面，底面，所以，

在中，，

所以，故二面角的大小為.

（2）因為，而平面，平面，

所以平面，又，，

所以，點到平面的距離等于點到平面的距離.

在中作，為垂足，

由（1）知平面，而平面，所以，

又，平面，平面，所以平面，

所以，點到平面的距離即為的長.

在中，，

即，

綜上，點到平面的距離為.