Question

【題目】已知a、b、c為的三邊長，直線l的方程，圓.

（1）若為直角三角形，c為斜邊長，且直線l與圓M相切，求c的值；

（2）若為正三角形，對于直線l上任意一點P，在圓M上總存在一點Q，使得線段的長度為整數，求c的取值范圍；

（3）點，，，，設E、F、G、H四點到直線l的距離之和為S，求S的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

(1)△ABC為直角三角形，c為斜邊長，則，又直線與圓相切，根據點到直線的距離公式，得到關于c的方程，求出c即可；

(2)此時圓為以(c，c)為圓心，以c為半徑的圓，直線可化為x+y+1＝0，直線l上任意一

點P，在圓M上總存在一點Q，使得線段｜PQ|的長度為整數，設圓心到直線的距離為d，只需d+r能用整數表示，并且圓的直徑2r≥1即可；

(3)將S表示出來，利用放縮法，結合幾何意義處理.

(1)因為若△ABC為直角三角形，c為斜邊長，所以，

直線l與圓M相切，所以圓心(a，b)到直線ax+by+c＝0的距離為c即

所以，即或（舍）

(2)若△ABC為正三角形，若△ABC為正三角形，則此時圓是以(c,c)為圓心，c為半徑的圓，直線方程為x+y+1＝0，設圓心(c，c)到直線的距離為d，則d＝,

要使直線l上任意一點P，在圓M上總存在一點Q，使得線段PQ的長度為整數，需滿

足同時成立，即

(3)依題意S=

因為三角形的兩邊之和大于第三邊，所以S可化為:S=,

下面求S的最小值，從幾何意義上看，S代表(1，1)到直線l的距離的二倍，

而直線l在x軸上的截距為，在y軸上的截距為，

三邊中若c為最大值，則直線l在兩坐標軸上的截距均小于-1，此時(1，1)到直線l的最小

距離大于2，即S＞4.

若c不是最大值，不妨設a為最大值，則

綜上：