Question

【題目】已知橢圓，點(diǎn)F為拋物線的焦點(diǎn)，焦點(diǎn)F到直線3x-4y+3=0的距離為d1，焦點(diǎn)F到拋物線C的準(zhǔn)線的距離為d2，且。

(1)拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)若在x軸上存在點(diǎn)M，過點(diǎn)M的直線l分別與拋物線C相交于P、Q兩點(diǎn)，且為定值，求點(diǎn)M的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式以及拋物線的性質(zhì)可求得和，再結(jié)合解出即可得拋物線的方程；（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為，，設(shè)直線的方程為，與拋物線方程聯(lián)立可得， ，把根與系數(shù)的關(guān)系代入可得，由其為定值可得，即得結(jié)果.

代入同理可得結(jié)論．

（1）由題意知，焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，，

又，解得：.故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為，，

顯然直線的斜率不為0.設(shè)直線的方程為.

聯(lián)立方程消去，并整理得，

則且，.

由，.

有.

若為定值，必有.

所以當(dāng)為定值時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為.