Question

【題目】已知函數，設．

（1）判斷函數零點的個數，并給出證明；

（2）首項為的數列滿足：①；②．其中．求證：對于任意的，均有．

Answer 1

【答案】（1）有且僅有一個零點；（2）見解析

【解析】試題分析：（1）先求得的定義域為再證明在上單調遞增，即可得結果；（2）利用導數研究函數的單調性，求出數列的最大項與最小項，即可證得結論.

試題解析：（1）由題意知，

當且僅當時等號成立，因此在上單調遞增，又，

故函數在上有且僅有一個零點；

（2）由（1）可知在上單調遞增，且，

故當時， ，即；

當時， ，即．

因為當，所以，

若，則由，又在上單調遞減知，

即這與矛盾，故，

而當時， 單調遞增，故；

同理可證，

故數列為單調遞增數列且所有項均小于，

因此對于任意的，均有．