Question

【題目】如圖，在三棱錐A﹣BCD中，AD⊥平面BCD，CB=CD，AD=DB，P，Q分別在線段AB，AC上，AP=3PB，AQ=2QC，M是BD的中點．
（Ⅰ）證明：DQ∥平面CPM；
（Ⅱ）若二面角C﹣AB﹣D的大小為 ，求∠BDC的正切值．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）取AB的中點E，
則 ，所以EQ∥PC．
又EQ平面CPM，所以EQ∥平面CPM．
又PM是△BDE的中位線，所以DE∥PM，
從而DE∥平面CPM．
所以平面DEQ∥平面CPM，
故DQ∥平面CPM．
解：（Ⅱ）解法1：由AD⊥平面BCD知，AD⊥CM
由BC=CD，BM=MD，知BD⊥CM，
故CM⊥平面ABD．
由（Ⅰ）知DE∥PM，而DE⊥AB，故PM⊥AB．
所以∠CPM是二面角C﹣AB﹣D的平面角，
即 ．
設PM=a，則 ， ，
在Rt△CMD中， ．
所以∠BDC的正切值為 ．
解法2：以M為坐標原點，MC，MD，ME所在的直線分別為x軸，y軸，z軸，
建立如圖所示的空間直角坐標系．

設MC=a，MD=b，則C（a，0，0），B（0，﹣b，0），A（0，b，2b）
則 ，
設 平面ABC的一個法向量，
則 即 取
平面ABD的一個法向量為 ，
所以 ，所以
在Rt△CMD中，
所以∠BDC的正切值為 ．
【解析】（Ⅰ）取AB的中點E，則EQ∥PC，從而EQ∥平面CPM，由中位線定理得DE∥PM，從而DE∥平面CPM，進而平面DEQ∥平面CPM，由此能證明DQ∥平面CPM．（Ⅱ）法1：推導出AD⊥CM，BD⊥CM，從而CM⊥平面ABD，進而得到∠CPM是二面角C﹣AB﹣D的平面角，由此能求出∠BDC的正切值．法2：以M為坐標原點，MC，MD，ME所在的直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出∠BDC的正切值．
【考點精析】本題主要考查了直線與平面平行的判定的相關知識點，需要掌握平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行才能正確解答此題．