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精英家教網(wǎng) > 高中數(shù)學(xué) > 題目詳情

設(shè)

為隨機變量，從棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的八個頂點中任取四個點，當四點共面時，

=0，當四點不共面時，

的值為四點組成的四面體的體積．
（1）求概率P（

=0）；
（2）求

的分布列，并求其數(shù)學(xué)期望E (

)．

（1）

（2）

試題分析：（1）求概率P（

= 0），就是求四點共面時概率.古典概型概率

的求法，關(guān)鍵要找出

所包含的基本事件個數(shù)，然后套用公式

（2）求

的數(shù)學(xué)期望的基本步驟：首先理解

的意義，寫出

可能取的全部值，本題考慮四個頂點不同位置，求體積；其次求

取各個值的概率，寫出概率分布；最后根據(jù)概率分布，由數(shù)學(xué)期望的定義求出

試題解析：（1）從正方體的八個頂點中任取四個點,共有

種不同取法.
其中共面的情況共有12種(6個側(cè)面,6個對角面).
則

3分
（2）任取四個點,當四點不共面時,四面體的體積只有以下兩種情況:
①四點在相對面且異面的對角線上,體積為

這樣的取法共有2種. 5分
②四點中有三個點在一個側(cè)面上,另一個點在相對側(cè)面上,體積為

這樣的取法共有

種 7分

的分布列為

8分
數(shù)學(xué)期望

10分

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

甲、乙、丙三人參加某次招聘會，假設(shè)甲能被聘用的概率是

，甲、丙兩人同時不能被聘用的概率是

，乙、丙兩人同時能被聘用的概率為

，且三人各自能否被聘用相互獨立.
（1）求乙、丙兩人各自被聘用的概率；
（2）設(shè)

為甲、乙、丙三人中能被聘用的人數(shù)與不能被聘用的人數(shù)之差的絕對值，求

的分布列與均值（數(shù)學(xué)期望）.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

一中食堂有一個面食窗口,假設(shè)學(xué)生買飯所需的時間互相獨立,且都是整數(shù)分鐘,對以往學(xué)生買飯所需的時間統(tǒng)計結(jié)果如下:

買飯時間（分）	1	2	3	4	5
頻率	0.1	0.4	0.3	0.1	0.1

從第一個學(xué)生開始買飯時計時.
（Ⅰ）估計第三個學(xué)生恰好等待4分鐘開始買飯的概率;
（Ⅱ）

表示至第2分鐘末已買完飯的人數(shù),求

的分布列及數(shù)學(xué)期望

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

學(xué)校為了使運動員順利參加運動會,招募了8名男志愿者和12名女志愿者，這20名志愿者的身高如下莖葉圖（單位：cm）：若身高在180cm以上（包括180cm）定義為“高個子”，身高在180cm以下（不包括180cm）定義為“非高個子”，且只有“女高個子”才能擔任“禮儀小姐”.

男				女
		8	16	5	8	9
8	7	6	17	2	3	5	5	6
7	4	2	18	0	1	2
		1	19	0

（Ⅰ）用分層抽樣的方法從“高個子”和“非高個子”中抽取5人，如果從這5人中隨機選2人，那么至少有1人是“高個子”的概率是多少？
（Ⅱ）若從所有“高個子”中隨機選3名志愿者，用

表示所選志愿者中能擔任“禮儀小姐”的人數(shù)，試寫出

的分布列，并求

的數(shù)學(xué)期望.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

某電器商經(jīng)過多年的經(jīng)驗發(fā)現(xiàn)本店每個月售出的電冰箱的臺數(shù)ξ是一個隨機變量，它的分布列為P(ξ＝i)＝

(i＝1，2，…，12)；設(shè)每售出一臺電冰箱，電器商獲利300元．如銷售不出，則每臺每月需花保管費100元.問電器商每月初購進多少臺電冰箱才能使月平均收益最大？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

某地位于甲、乙兩條河流的交匯處，根據(jù)統(tǒng)計資料預(yù)測，今年汛期甲河流發(fā)生洪水的概率為0.25，乙河流發(fā)生洪水的概率為0.18(假設(shè)兩河流發(fā)生洪水與否互不影響)．現(xiàn)有一臺大型設(shè)備正在該地工作，為了保護設(shè)備，施工部門提出以下三種方案：
方案1：運走設(shè)備，此時需花費4000元；
方案2：建一保護圍墻，需花費1000元，但圍墻只能抵御一個河流發(fā)生的洪水，當兩河流同時發(fā)生洪水時，設(shè)備仍將受損，損失約56000元；
方案3：不采取措施，此時，當兩河流都發(fā)生洪水時損失達60000元，只有一條河流發(fā)生洪水時，損失為10000元．
(1)試求方案3中損失費X(隨機變量)的分布列；
(2)試比較哪一種方案好．

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為貫徹“激情工作，快樂生活”的理念，某單位在工作之余舉行趣味知識有獎競賽，比賽分初賽和決賽兩部分．為了增加節(jié)目的趣味性，初賽采用選手選一題答一題的方式進行，每位選手最多有5次選題答題的機會，選手累計答對3題或答錯3題即終止其初賽的比賽，答對3題者直接進入決賽，答錯3題者則被淘汰．已知選手甲答題的正確率為

.
(1)求選手甲答題次數(shù)不超過4次可進入決賽的概率；
(2)設(shè)選手甲在初賽中答題的個數(shù)為X，試寫出X的分布列，并求X的數(shù)學(xué)期望．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

袋子里有完全相同的3只紅球和4只黑球，今從袋子里隨機取球.
（Ⅰ）若有放回地取3次，每次取一個球，求取出2個紅球1個黑球的概率；
（Ⅱ）若無放回地取3次，每次取一個球，若取出每只紅球得2分，取出每只黑球得1分，求得分

的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

二十世紀50年代，日本熊本縣水俁市的許多居民都患了運動失調(diào)、四肢麻木等癥狀，人們把它稱為水俁病．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)一家工廠排出的廢水中含有甲基汞，使魚類受到污染．人們長期食用含高濃度甲基汞的魚類引起汞中毒．引起世人對食品安全的關(guān)注．《中華人民共和國環(huán)境保護法》規(guī)定食品的汞含量不得超過1.00ppm．
羅非魚是體型較大，生命周期長的食肉魚，其體內(nèi)汞含量比其他魚偏高．現(xiàn)從一批羅非魚中隨機地抽出15條作樣本，經(jīng)檢測得各條魚的汞含量的莖葉圖（以小數(shù)點前一位數(shù)字為莖，小數(shù)點后一位數(shù)字為葉）如下：

（Ⅰ）若某檢查人員從這15條魚中，隨機地抽出3條，求恰有1條魚汞含量超標的概率；
（Ⅱ）以此15條魚的樣本數(shù)據(jù)來估計這批魚的總體數(shù)據(jù)．若從這批數(shù)量很大的魚中任選3條魚，記ξ表示抽到的魚汞含量超標的條數(shù)，求ξ的分布列及Eξ

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