Question

【題目】已知橢圓 的右焦點為F（2，0），M為橢圓的上頂點，O為坐標原點，且△MOF是等腰直角三角形．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）過點M分別作直線MA，MB交橢圓于A，B兩點，設兩直線的斜率分別為k1 ， k2 ， 且k1+k2=8，證明：直線AB過定點（ ）．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）解：由△MOF是等腰直角三角形，得c2=b2=4，a2=8，

故橢圓方程為： =1．

（Ⅱ）證明：（i）若直線AB的斜率存在，設AB的方程為：y=kx+m，依題意得m≠±2，

設A（x1，y1），B（x2，y2），

由 ，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0，

則 ．

由已知 k1+k2=8，可得 ，

所以 ，即 ．

所以 ，整理得 ．

故直線AB的方程為 ，即y=k（ ）﹣2．

所以直線AB過定點（ ）．

（ii）若直線AB的斜率不存在，設AB方程為x=x0，

設A（x0，y0），B（x0，﹣y0），

由已知 ，得 ．

此時AB方程為 ，顯然過點（ ）．

綜上，直線AB過定點（ ）．

【解析】（Ⅰ）由△MOF是等腰直角三角形，得c2=b2=4，再根據a2=b2+c2可求得a；（Ⅱ）分情況討論：（1）當直線AB的斜率存在時，設AB的方程為：y=kx+m，聯立直線AB方程與橢圓方程消掉y得x的二次方程，由韋達定理及k1+k2=8可得關于k，m的關系式，消m代入直線AB方程可求得定點坐標；（2）若直線AB的斜率不存在，設AB方程為x=x0，由已知可求得AB方程，易驗證其過定點；
【考點精析】關于本題考查的橢圓的標準方程，需要了解橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：才能得出正確答案．