Question

【題目】已知拋物線C：x2=2py（p＞0）的焦點為F，A為C上異于原點的任意一點，點A到x軸的距離等于|AF|﹣1．

（1）求拋物線C的方程；
（2）直線AF與C交于另一點B，拋物線C分別在點A，B處的切線交于點P，D為y軸正半軸上一點，直線AD與C交于另一點E，且有|FA|=|FD|，N是線段AE的靠近點A的四等分點．
（i）證明點P在△NAB的外接圓上；
（ii）△NAB的外接圓周長是否存在最小值？若存在，請求出最小值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：過A作AM⊥x軸，垂足為M，設拋物線的準線方程為：y=﹣ ，

∴AF=AM+ ，

∴ =1，即p=2．

∴拋物線C的方程為：x2=4y．

（2）解：（i）設A（x1， ），B（x2， ），

∵A，B，F（0，1）三點共線，∴ ，∴x1x2=﹣4，

由x2=4y得y= ，

∴切線AP的方程為：y﹣ = （x﹣x1），

切線BP的方程為：y﹣ = （x﹣x2），

聯立方程組可得P（ ﹣ ，﹣1），

∴ =（ ， +1）， =（﹣ ﹣ ， +1），

∴ =（ ）（﹣ ﹣ ）+（ +1）（ +1）=0，

∴∠BPA=90°．

∵|FD|=|FA|= +1，∴D（0， +2），

設E（x3， ），由A，D，E三點共線得： ，

∴x3=﹣x1﹣ ，

∵N是AE的靠近A的四等分點，

∴N（﹣ + ， +1），

∴ =（ + ，﹣ ﹣1）， =（﹣ ﹣ ，﹣ ﹣1）．

∴ =（ + ）（﹣ ﹣ ）+（﹣ ﹣1）（﹣ ﹣1）=0，

∴∠BNA=90°，

∴A，B，P，N四點共圓，

∴P在△ABN的外接圓上．

（ii）由（i）可知|AB|為△ABN的外接圓直徑．

∵|AB|= +2= ≥2| || |+2=4．

當且僅當| |=| |即x1=±1時，取等號．

∴當x1=1或﹣1時，△ABN的外接圓周長最小，最小周長為4π．

【解析】（1）利用拋物線的性質可知 =1，從而得出拋物線方程；（2）（i）設A（x1， ），B（x2， ），E（x3， ），由三點共線可得x2，x3與x1的關系，求出P，N的坐標，利用向量證明AP⊥BP，AN⊥BN，從而可得A，B，P，N四點共圓；

（ii）利用基本不等式求出外接圓的直徑|AB|的最小值即可得出周長的最小值．