Question

（2012•鹽城二模）設f（x）是定義在R上的可導函數，且滿足f（x）+xf′（x）＞0．則不等式f(

x+1

)＞

x-1

f(

x2-1

)的解集為

{x|1≤x＜2}

．

Answer 1

分析：由題意可得 （ x•f（x））′＞0，故 函數y=x•f（x）在R上是增函數，不等式即

x+1

f(

x+1

)＞

x+1

x-1

f(

x2-1

)，故有

x+1

＞

x2-1

，由此求得解集．

解答：解：∵f（x）+xf′（x）＞0，
∴（ x•f（x））′＞0，故函數y=x•f（x）在R上是增函數．
∴

x+1

•f(

x+1

)＞

x+1

x-1

f(

x2-1

)=

x2-1

•f（

x2-1

），
∴

x+1

＞

x2-1

，即

x+1≥0 x≥1 ，或x≤-1 x+1＞x2-1

．
解得 1≤x＜2，
故答案為 {x|1≤x＜2}．

點評：本題以積的導數為載體，考查函數的單調性，關鍵是條件的等價轉化，屬于基礎題．