Question

【題目】已知定點，定直線，動點到點的距離與到直線的距離之比等于.

（1）求動點的軌跡的方程；

（2）設軌跡與軸負半軸交于點，過點作不與軸重合的直線交軌跡于兩點，直線分別交直線于點.試問：在軸上是否存在定點，使得?若存在，求出定點的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1) ；(2)在軸上存在定點或，使得.

【解析】試題分析：

(1)設出點的坐標，結合題意可得動點的軌跡的方程是；

(2)設出直線方程，聯立直線與橢圓的方程，討論可得在軸上存在定點或，使得.

試題解析：

（1）設點，依題意有，化簡整理，得，即為動點的軌跡的方程.

（2）根據題意可設直線的方程為，代入，整理得，設，則， .又易知，所以直線的方程為： ,直線的方程為： ，從而得， ，所以 .所以當，即

或時， ，故在軸上存在定點或，使得.