Question

【題目】設函數f（x）的定義域是（0，+∞），且對任意的正實數x，y都有f（xy）=f（x）+f（y）恒成立．已知f（2）=1，且x＞1時，f（x）＞0．
（1）求f（ ）的值；
（2）判斷y=f（x）在（0，+∞）上的單調性，并給出你的證明；
（3）解不等式f（x2）＞f（8x﹣6）﹣1．

Answer 1

【答案】
（1）解：令x=y=1，則可得f（1）=0，

再令x=2，y= ，得f（1）=f（2）+f（ ），故f（ ）=﹣1

（2）解：設0＜x1＜x2，則f（x1）+f（ ）=f（x2）

即f（x2）﹣f（x1）=f（ ），

∵ ＞1，故f（ ）＞0，即f（x2）＞f（x1）

故f（x）在（0，+∞）上為增函數

（3）解：由f（x2）＞f（8x﹣6）﹣1得f（x2）＞f（8x﹣6）+f（ ）=f[ （8x﹣6）]，

故得x2＞4x﹣3且8x﹣6＞0，解得解集為{x| ＜x＜1或x＞3}

【解析】（1）由題條件知若能求出f（1）的值，再由1=2× 即可得到求得f（ ）的值；（2）題設中有x＞1時，f（x）＞0，故可令0＜x1＜x2 ， 由 的恒等變形及題設中的恒等式得到f（x1）+f（ ）=f（x2），由此問題得證．做此題時要注意做題步驟，先判斷再證明；（3）由（2）的結論，利用單調性直接將抽象不等式轉化為一般不等式求解即可