【題目】如圖，在四面體
中， 
平面
， 
， 
，
為
的中點.
（Ⅰ）求證: 
；
（Ⅱ）求二面角
的余弦值.
（Ⅲ）求四面體
的外接球的表面積.
（注：如果一個多面體的頂點都在球面上，那么常把該球稱為多面體的外接球. 球的表面積
）
【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）
（Ⅲ）
.
【解析】試題分析：（Ⅰ）易證
平面
，進而得
；
（Ⅱ）以
， 
， 
所在直線為
軸， 
軸， 
軸，如圖建立空間直角坐標系，分別求出平面
的一個法向量為
和平面
的一個法向量為
，利用法向量求二面角即可；
（Ⅲ）取
的中點為
，由線段長相等即可證得
為四面體
的外接球的球心，進而可求球的表面積.
試題解析：
（Ⅰ）因為
平面
， 
平面
，
所以
.
又因為
， 
，
所以
平面
.
又因為
平面
，
所以
.
（Ⅱ）如圖，設
的中點為
， 
的中點為
，連接
， 
，
因為
平面
，
所以
平面
，由
，且
，可得
， 
， 
兩兩垂直，所以分別以
， 
， 
所在直線為
軸， 
軸， 
軸，如圖建立空間直角坐標系，/p>
則
， 
， 
， 
， 
.
所以
， 
， 
.
設平面
的一個法向量為
，
由
， 
，得
令
，得
.
設平面
的一個法向量為
，
由
， 
，得
令
，得
.
所以
.
由圖可知，二面角
的余弦值為
.
（Ⅲ）根據（Ⅱ），記
的中點為
，
由題意， 
為直角三角形，斜邊
，
所以
.
由（Ⅰ），得
平面
，
所以
.
在直角
中， 
為斜邊
的中點，
所以
.
所以
為四面體
的外接球的球心，
故四面體
的外接球的表面積
. .
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】根據空氣質量指數API（為整數）的不同，可將空氣質量分級如下表：
現對某城市30天的空氣質量進行監測，獲得30個API數據（每個數據均不同），統計繪得頻率分布直方圖如圖.
（1）請由頻率分布直方圖來估計這30天API 的平均值；
（2）若從獲得的“空氣質量優”和“空氣質量中重度污染” 的數據中隨機選取
個數據進行復查，求“空氣質量優”和“空氣質量中重度污染”數據恰均被選中的概率；
（3）假如企業每天由空氣污染造成的經濟損失S（單位：元）與空氣質量指數API （記為
）的關系式為
，
若將頻率視為概率，在本年內隨機抽取一天，試估計這天的經濟損失S不超過600元的概率．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的左、右焦點分別為
，橢圓
過點
，直線
交
軸于
，且
， 
為坐標原點．
（1）求橢圓
的方程；
（2）設
是橢圓
的上頂點，過點
分別作直線
交橢圓
于
兩點，設這兩條直線的斜率分別為
，且
，證明：直線
過定點．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】 如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，側面PAD⊥底面ABCD，側棱PA=PD= 
，PA⊥PD，底面ABCD為直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AB=BC=1，O為AD中點．
(1) 求直線PB與平面POC所成角的余弦值;
(2)線段
上是否存在一點
,使得二面角
的余弦值為
?若存在，求出
的值；若不存在，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖所示的幾何體，關于其結構特征，下列說法不正確的是
A. 該幾何體是由兩個同底的四棱錐組成的幾何體
B. 該幾何體有12條棱、6個頂點
C. 該幾何體有8個面，并且各面均為三角形
D. 該幾何體有9個面，其中一個面是四邊形，其余均為三角形
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知某公司生產某款手機的年固定成本為40萬元，每生產1萬只還需另投入16萬元.設該公司一年內共生產該款手機
萬只并全部銷售完，每萬只的銷售收入為
萬元，且
（1）寫出年利潤
（萬元）關于年產量
（萬只）的函數解析式；
（2）當年產量為多少萬只時，該公司在該款手機的生產中所獲得的利潤最大？并求出最大利潤.
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