Question

【題目】如圖，已知長方形ABCD中，AB=2 ，AD= ，M為DC的中點，將△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM （Ⅰ）求證：AD⊥BM
（Ⅱ）若點E是線段DB上的一動點，問點E在何位置時，二面角E﹣AM﹣D的余弦值為 ．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）∵長方形ABCD中，AB=2 ，AD= ，M為DC的中點， ∴AM=BM=2，∴BM⊥AM．
∵平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM=AM，BM平面ABCM
∴BM⊥平面ADM
∵AD平面ADM∴AD⊥BM；
（Ⅱ）建立如圖所示的直角坐標系，設 ，
則平面AMD的一個法向量 =（0，1，0）， = + =（1﹣λ，2λ，1﹣λ）， =（﹣2，0，0），
設平面AME的一個法向量為 =（x，y，z），則 ，
取y=1，得x=0，z= ，
則 =（0，1， ），
∵cos＜ ， ＞= = ，∴求得 ，
故E為BD的中點．

【解析】（Ⅰ）根據線面垂直的性質證明BM⊥平面ADM即可證明AD⊥BM（Ⅱ）建立空間坐標系，求出平面的法向量，利用向量法建立二面角的夾角關系，解方程即可．