Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，已知圓M：（x+1）2+y2= 的圓心為M，圓N：（x﹣1）2+y2= 的圓心為N，一動圓與圓M內切，與圓N外切．
（Ⅰ）求動圓圓心P的軌跡方程；
（Ⅱ）過點（1，0）的直線l與曲線P交于A，B兩點，若 =﹣2，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）設動圓P的半徑為r，則|PM|= ﹣r，|PN|=r+ ．

兩式相加，得|PM|+PN|=4＞|MN|，

由橢圓定義知，點P的軌跡是以M、N為焦點，焦距為2，實軸長為4的橢圓，其方程為 ．

（Ⅱ）當直線的斜率不存在時，直線l的方程為x=1，則 ， ， ．當直線的斜率存在時，設直線l的方程為y=k（x﹣1），設A（x1，y1），B（x2，y2），聯立 消去y，得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，則有 ， ， = = ．

由已知，得 ，解得 ．

故直線l的方程為

【解析】（Ⅰ）根據兩圓內外切的性質可得出|PM|+PN|=4＞|MN|，即為橢圓由已知可求出方程。（Ⅱ）分情況討論直線斜率存在和不存在，當斜率不存在時不成立；而當斜率存在時，設出直線方程和橢圓聯立，消去y 由韋達定理求出 x 1 + x 2、 x1x2 的值，代入到向量的數量積坐標運算公式即可求出 k的值進而得出直線方程。
【考點精析】認真審題，首先需要了解橢圓的概念(平面內與兩個定點，的距離之和等于常數（大于）的點的軌跡稱為橢圓,這兩個定點稱為橢圓的焦點，兩焦點的距離稱為橢圓的焦距)．