Question

【題目】設函數f（x）=x2+2ax﹣a﹣1，x∈[0，2]，a為常數．
（1）用g（x）表示f（x）的最小值，求g（a）的解析式；
（2）在（1）中，是否存在最小的整數m，使得g（a）﹣m≤0對于任意a∈R均成立，若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：對稱軸 x=﹣a，

①當﹣a＜0即a＞0 時，函數f（x）=x2+2ax﹣a﹣1，x∈[0，2]上是增函數，

當x=0 時有最小值 f（0）=﹣a﹣1

②當﹣a≥2即a≤﹣2 時，函數f（x）=x2+2ax﹣a﹣1，x∈[0，2]上是減函數，

x=2時有最小值，f（2）=3a+3

③當0＜﹣a＜2即﹣2＜a＜0 時，函數f（x）=x2+2ax﹣a﹣1，x∈[0，2]上是不單調，

x=﹣a時有最小值 f（﹣a）=﹣a2﹣a﹣1

∴g（a）=

（2）解：存在，由題知g（a）在（﹣∞， ）是增函數，在[ ，+∞）是減函數

a= 時，g（a）max=﹣

g（a）﹣m≤0恒成立，可得g（a）max≤m，∴

∵m為整數，∴m的最小值為0

【解析】（1）先根據二次函數的對稱軸對a進行分類討論，結合函數的單調性進而求得g（a）的解析式；（2）根據（1）中g（a）的解析式判斷其單調區間，再求得g（a）的最大值，由g（a）﹣m≤0恒成立，可得g（a）max≤m即可求得整數m的最小值.
【考點精析】認真審題，首先需要了解二次函數的性質(增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小)．