Question

閱讀下面材料：
根據兩角和與差的正弦公式，有
sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ------①
sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ------②
由①+②得sin（α+β）+sin（α-β）=2sinαcosβ------③
α+β=A，α-β=B 有α=

A+B

2

，β=

A-B

2

代入③得 sinA+cosB=2sin

A+B

2

cos

A-B

2

．
（1）類比上述推理方法，根據兩角和與差的余弦公式，證明：cosA-cosB=-2sin

A+B

2

sin

A-B

2

；
（2）若△ABC的三個內角A，B，C滿足cos2A+cox2C-cos2B=1，直接利用閱讀材料及（1）中的結論試判斷△ABC的形狀．

Answer 1

分析：（1）通過兩角和與差的余弦公式，令α+β=A，α-β=B有α=

A+B

2

，β=

A-B

2

，即可證明結果．
（2）利用（1）中的結論和二倍角公式，cos2A-cos2B=2sin²C，以及A+B+C=π，推出2sinAcosB=0．∠B=

π

2

．得到△ABC為直角三角形．

解答：解：（1）證明：因為cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ，------①
cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ②
①-②得cos（α+β）-cos（α-β）=-2sinαsinβ③…
令α+β=A，α-β=B有α=

A+B

2

，β=

A-B

2

，
代入③得cosA-cosB=-2sin

A+B

2

sin

A-B

2

．．…（8分）
（2）由cos2A+cox2C-cos2B=1得：cos2A-cos2B=2sin²C．
由（1）中結論得：-2sin（A+B）sin（A-B）=2sin²C，
因為A，B，C為△ABC的內角，所以A+B+C=π，
所以-sin（A+B）sin（A-B）=sin²（A+B）．
又因為0＜A+B＜π，所以sin（A+B）≠0，
所以sin（A+B）+sin（A-B）=0．
從而2sinAcosB=0．…（10分）
又因為sinA≠0，所以cosB=0，即∠B=

π

2

．
所以△ABC為直角三角形．…（12分）

點評：本小題主要考查兩角和與差三角函數公式、二倍角公式、三角函數的恒等變換等基礎知識，考查推理論證能力，運算求解能力，考查化歸與轉化思想等．