Question

如圖，一個等腰直角三角形的硬紙片△ABC中，∠ACB=90°，AC=4cm，CD是斜邊上的高，沿CD把△ABC折成直二面角．
（1）如果你手中只有一把能夠量長度的直尺，應該如何確定A、B的位置，使得二面角A-CD-B是直二面角？證明你的結論．
（2）試在平面ABC上確定一點P，使DP與平面ABC內任意一條直線垂直，證明你的結論．
（3）如果在折成的三棱錐內有一個小球，求出球的半徑的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知可以得出∠ADC為二面角A-CD-B的平面角，在等腰直角三角形ADB中，求出AB即為所量得的數值．
（2）判斷出三棱錐D-ABC是正三棱錐，取△ABC的中心P，連DP，則DP滿足條件．
（3）小球半徑最大時，此時小球與三棱錐的四個面都相切設，小球的球心為O，半徑為r，連接OA，OB，OC，OD將三棱錐分成四個小三棱錐，且以原三棱錐的面作為底面，公共頂點為O，高均為r．利用等體積法求出r．
解答：解：（1）用直尺度量折后的AB長，若AB=4cm，則二面角A-CD-B是直二面角
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AD=DB=
又∵AD⊥DC，BD⊥DC，
∴∠ADC為二面角A-CD-B的平面角
在等腰直角三角形ADB中，AB=AD=4．（4分）
（2）由（1）知△ABC此時為正三角形，
取△ABC的中心P，連DP，則DP滿足條件．
∵△ABC此時為正三角形，且AD=DB=DC
∵三棱錐D-ABC是正三棱錐，由P為△ABC的中心知DP⊥面ABC
∴DP與平面ABC內任意一條直線垂直（8分）
（3）當小球半徑最大時，此時小球與三棱錐的四個面都相切，設該小球的球心為O，半徑為r，連接OA，OB，OC，OD三棱錐被分成了四個小三棱錐，且每個小三棱錐中有一個面上的高都為r故有V_A-BCD=V_O-BCD+V_O-ADC+V_O-ABD+V_O-ABC，所以S_△ADB×CD=（S_△BCD+S_△ADC+S_△ABD+S_△ABC）×r，而易得S_△BCD=S_△ADC=S_△ABD=8，S_△ABC=4
代入得小球的半徑最大值為r=（14分）
點評：本題考查二面角的大小度量、正棱錐的性質，等體積轉化的方法．考查空間想象、轉化、計算能力．