Question

【題目】設a∈R，函數f（x）=lnx﹣ax．
（1）若a=2，求曲線y=f（x）在P（1，﹣2）處的切線方程；
（2）若f（x）無零點，求實數a的取值范圍；
（3）若f（x）有兩個相異零點x1 ， x2 ， 求證：x1x2＞e2 ．

Answer 1

【答案】
（1）解：在區間（0，+∞）上，

當a=2時，f′（1）=1﹣2=﹣1，則切線方程為y﹣（﹣2）=﹣（x﹣1），即x+y+1=0

（2）解：①若a＜0，則f′（x）＞0，f（x）是區間（0，+∞）上的增函數，

∵f（1）=﹣a＞0，f（ea）=a﹣aea=a（1﹣ea）＜0，

∴f（1）f（ea）＜0，函數f（x）在區間（0，+∞）有唯一零點

②若a=0，f（x）=lnx有唯一零點x=1．

③若a＞0，令f′（x）=0得： ．

在區間（0， ）上，f′（x）＞0，函數f（x）是增函數；

在區間（ ，+∞）上，f′（x）＜0，函數f（x）是減函數；

故在區間（0，+∞）上，f（x）的極大值為f（ ）= ．

由于f（x）無零點，須使 ，解得： ．

故所求實數a的取值范圍是（ ，+∞）

（3）證明：設x1＞x2＞0，∵f（x1）=0，f（x2）=0，∴lnx1﹣ax1=0，lnx2﹣ax2=0，

∴lnx1﹣lnx2=a（x1﹣x2），lnx1+lnx2=a（x1+x2）

原不等式x1x2＞e2等價于lnx1+lnx2＞2a（x1+x2）＞2

令 ，則t＞1，于是 ．

設函數 ，

求導得： ，

故函數g（t）是（1，+∞）上的增函數，∴g（t）＞g（1）=0

即不等式 成立，故所證不等式x1x2＞e2成立

【解析】（1）先確定函數f（x）的定義域，然后對函數f（x）求導，根據導函數求出f′（1）=﹣1，得到切線方程．（2）當a≤0時，函數有零點；當a＞0時，極大值小于0，函數沒有零點，由此可求實數a的取值范圍．（3）由于f（x）有兩個相異零點x1 ， x2 ， 可知f（x1）=0，f（x2）=0，再原不等式x1x2＞e2進一步整理得到 ，只要能證出上述不等式恒成立即可．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數的極值與導數的相關知識，掌握求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值．