Question

【題目】下列四個命題：

①圓與直線相交，所得弦長為；

②直線與圓恒有公共點；

③若棱長為的正方體的頂點都在同一球面上，則該球的表面積為；

④若棱長為的正四面體的頂點都在同一球面上，則該球的體積為.

其中，正確命題的序號為__________．（寫出所有正確命題的序號）

Answer 1

【答案】②④.

【解析】試題分析：①②是直線和圓的位置關系及弦長問題，一般轉化為圓心到直線的距離問題，但本題中很容易看出①中直線x﹣2y=0過圓心，②中直線和圓均過原點；③④為與球有關的組合體問題，結合球的截面性質，球心與截面圓心的連線垂直于截面圓處理．

詳解：①圓心（﹣2，﹣1）在直線x﹣2y=0上，即直線x﹣2y=0過圓心，所得弦長為直徑4，結論錯誤；

②∵直線y=kx與圓（x﹣cosθ）2+（y﹣sinθ）2=1橫過原點，故恒有公共點正確；

③球直徑為正方體的對角線長即 ，故求半徑R= ，球表面積為s=4πR2=27π，結論錯誤；

由上圖可知，AH=， ，∴R=，

∵，∴，∴ ，結論正確．

故答案為：②④