Question

【題目】如圖，在正方體中，分別是中點.

求證：（1）∥平面；

（2）平面.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析（2）詳見解析

【解析】

試題分析：

（1）利用正方體的性質和三角形中位線性質可得EF∥AD1，進而利用平行四邊形ABC1D1轉化為EF∥BC1，最后利用線面平行的判定定理證得結論．

（2）首先利用側棱垂直于底面得到AA1⊥BD，然后結合正方形性質有AC⊥BD即可證得BD⊥平面AA1C，同理可證A1C⊥BC1最后利用線面垂直的判定定理即得結論．

試題解析：

證明：（1）連結A1D，

∵ E，F分別是AD和DD1的中點，∴ EF∥AD1 ． 2分

∵ 正方體ABCD－A1B1C1D1，

∴ AB∥D1C1，AB=D1C1．

∴ 四邊形ABC1D1為平行四邊形，即有A1D∥BC1 4分

∴ EF∥BC1．

又EF平面C1BD，BC1平面C1BD，

∴ EF∥平面AB1D1． 7分

（2）連結AC，則AC⊥BD．

∵ 正方體ABCD－A1B1C1D1，∴AA1⊥平面ABCD，

∴ AA1⊥BD．

又，∴BD⊥平面AA1C，

∴ A1C⊥BD． 11分

同理可證A1C⊥BC1．

又，∴A1C⊥平面C1BD． 14分