Question

【題目】在直角坐標系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為 （其中α為參數(shù)），以坐標原點O為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為ρ=4sinθ．
（1）若A，B為曲線C1 ， C2的公共點，求直線AB的斜率；
（2）若A，B分別為曲線C1 ， C2上的動點，當|AB|取最大值時，求△AOB的面積．

Answer 1

【答案】
（1）解：消去參數(shù)α得曲線C1的普通方程C1：x2+y2﹣2x=0．…（1）

將曲線C2：ρ=4sinθ化為直角坐標方程得x2+y2﹣4y=0．…（2）

由（1）﹣（2）得4y﹣2x=0，即為直線AB的方程，故直線AB的斜率為 ；

（2）解：由C1：（x﹣1）2+y2=1知曲線C1是以C1（1，0）為圓心，半徑為1的圓，

由C2：x2+（y﹣2）2=4知曲線C2：是以C2（0，2）為圓心，半徑為2的圓．

∵|AB|≤|AC1|+|C1C2|+|BC2|，

∴當|AB|取最大值時，圓心C1，C2在直線AB上，

∴直線AB（即直線C1C2）的方程為：2x+y=2．

∵O到直線AB的距離為 ，

又此時|AB|=|C1C2|+1+2=3+ ，

∴△AOB的面積為

【解析】（1）消去參數(shù)α得曲線C1的普通方程，將曲線C2化為直角坐標方程，兩式作差得直線AB的方程，則直線AB的斜率可求；（2）由C1方程可知曲線是以C1（1，0）為圓心，半徑為1的圓，由C2方程可知曲線是以C2（0，2）為圓心，半徑為2的圓，又|AB|≤|AC1|+|C1C2|+|BC2|，可知當|AB|取最大值時，圓心C1 ， C2在直線AB上，進一步求出直線AB（即直線C1C2）的方程，再求出O到直線AB的距離，則△AOB的面積可求．