Question

橢圓C的中心在坐標原點O，焦點在y軸上，離心率為

2

2

，以短軸的一個端點與兩焦點為頂點的三角形的面積為

1

2

．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若過點P（0，m）存在直線l與橢圓C交于相異兩點A，B，滿足：

AP

=λ

PB

且

OA

+λ

OB

=4

OP

，求常數(shù)λ的值和實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設(shè)橢圓方程為

y2

a2

+

x2

b2

=1(a＞b＞0)由題意得出a，b，c的關(guān)系，由此能夠求出a，b，c的值，從而得到所求橢圓方程．
（2）設(shè)直線l的方程為：y=kx+m，將直線的方程代入橢圓的方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，再結(jié)合根系數(shù)的關(guān)系利用向量條件即可求得m的取值范圍，從而解決問題．

解答：解：（1）設(shè)橢圓的方程為：

y2

a2

+

x2

b2

=1(a＞b＞0)，
由題意知，

1

2

b•(2c)=

1

2

，且e=

c

a

=

2

2

，
解得：a=1，b=c=

2

2

．
故橢圓C的方程為：y²+2x²=1．
（2）由

AP

=λ

PB

得，

OP

-

OA

=λ(

OB

-

OP

)，
∴(1+λ)

OP

=

OA

+λ

OB

=4

OP

，
∴1+λ=4，λ=3．
當直線l與x軸不垂直時，設(shè)直線l的方程為：y=kx+m，
且與橢圓C的交點為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

y=kx+m 2x2+y2=1

得：（k²+2）x²+2kmx+m²-1=0，
∴△=（2km）²-4（k²+2）（m²-1）=4（k²-2m²+2）＞0，x1+x2=-

2km

k2+2

，x1x2=

m2-1

k2+2

，
由

AP

=3

PB

得-x₁=3x₂，
∴x₁+x₂=-2x₂，x₁x₂=-3x₂²，
消去x₁，x₂得：3（x₁+x₂）²+4x₁x₂=0，
即3(

-2km

k2+2

)2+4×

m2-1

k2+2

=0，（4m²-1）k²=2-2m²．
當m2=

1

4

時，上式不成立，∴k2=

2-2m2

4m2-1

，
代入△＞0，即k²＞2m²-2，得

2-2m2

4m2-1

＞2m2-2恒成立，
即

(2-2m2)(4m2)

4m2-1

＞0，解得

1

4

＜m2＜1，
∴-1＜m＜-

1

2

或

1

2

＜m＜1．
當直線l與x軸垂直時，l的方程為：x=0得m=±

1

2

．
綜上所述：m的取值范圍為(-1，-

1

2

]∪[

1

2

，1)．

點評：本題考查用待定系數(shù)法求曲線方程的方法，設(shè)計新穎，基礎(chǔ)性強 待定系數(shù)法求曲線方程，如何處理直線與圓錐曲線問題，向量問題，成為解決本題的關(guān)鍵．本題考查圓錐曲線的位置關(guān)系，解題時要認真審題，仔細解答．