Question

【題目】如圖，菱形的對角線與交于點，，，點，分別在，上，，交于點.將沿折到的位置，.

（I）證明：平面平面；

（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析.( Ⅱ) .

【解析】

（I）首先根據 線段成比例可得 ，菱形對角線互相垂直， 故 可得 ，分別計算線段OH、HD，在 中運用勾股定理可證 ，進而可證平面，平面平面；（Ⅱ）以H為坐標原點建立平面直角坐標系，求出 的坐標以及面 的法向量，利用線面角的向量公式求解即可。

（Ⅰ）∵，∴，∴.

∵四邊形為菱形，∴，∴，∴，∴.

∵，∴；

又，，∴，∴，

∴，∴，∴.

又∵，∴平面.

∵平面，

∴平面平面.

（Ⅱ）建立如圖坐標系，則，，，，，，設平面的法向量，

由得，取，

∴.

設直線與平面所成角為，

∴，

∴.