Question

【題目】已知函數，.

（I）討論函數的零點個數；

（Ⅱ）若曲線在點處的切線經過點，當時，恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) 當或時，有一個零點；當或時，有兩個零點.( Ⅱ) .

【解析】

（I）求導，對a分類討論，根據導函數的正負研究 的單調性及最值，結合的極限，即可求解函數零點的個數；（Ⅱ）由題意可得p＞0，化簡原不等式，設，其中x∈[1，+∞），求得導數，討論p的范圍，判斷單調性，即可得到所求范圍．

（I）函數的定義域為，

求導，得，

當時，，所以在上單調遞增，

且，所以有一個零點；

當時，，，

所以在上單調遞減，在上單調遞增.

，

設 ，則，

，.

所以在上單調遞增，在上單調遞減.

，

當時，，所以有一個零點；

當及時，，且當時，；

當時，，所以有兩個零點.

綜上所述：當或時，有一個零點；

當或時，有兩個零點.

（Ⅱ）曲線在點處的切線為，即，

由題意得，解得，

所以，

由題意知，當時，，所以，

從而當時，，

由題意知，即，其中，

設，其中，

設，即，其中，

則，其中，

①當時，因為 ，所以是增函數，

從而當時，，

所以是增函數，從而.

故當時符合題意；

②當時，因為時，，所以在區間上是減函數，

從而當時，，

所以在上是減函數，從而，

故當時不符合題意.

③當時，因為時，，所以是減函數，

從而當時，，

所以是減函數，從而，

故當時不符合題意，

綜上，p的取值范圍是 。