Question

已知M（4，0），N（1，0）若動點P滿足

MN

•

MP

=6|

NP

|
（1）求動點P的軌跡方C的方程；
（2）設Q是曲線C上任意一點，求Q到直線l：x+2y-12=0的距離的最小值．

Answer 1

分析：（1）設動點P（x，y），則由已知P滿足

MN

•

MP

=6|

NP

|可知P的軌跡方程
（2）解法一：由幾何性質意義知，橢圓C與平行的切線其中一條和l的距離等于Q與l的距離的最小值．
把x+2y+D=0代入橢圓方程消去x，由△=0可得D，進而可求最小距離
解二：由集合意義知，橢圓C與平行的切線其中一條l′和l的距離等于Q與l的距離的最小值．設切點為R（x₀，y₀），則l′：

x0x

4

+

y0y

3

=1，且

x 2 0

4

+

y 2 0

3

=1，k=-

3x0

4y0

=-

1

2

，聯立可求x₀，y₀，代入可求最小距離
解三：由橢圓參數方程設Q(2cosθ，

3

sinθ），由點Q與l距離d=

|2cosθ+2 3 sinθ-12|

5

=

12-4sin(θ+30°)

5

，結合三角函數的性質可求
解四：設Q（x₀，y₀），

x 2 0

4

+

y 2 0

3

=1且Q與l距離d=

|x0+2y0-12|

5

，由柯西不等式可求

解答：解：（1）設動點P（x，y），則

MP

(x-4，y)，

MN

=(-3，0)，

PN

=（1-x，-y）
由已知得-3（x-4）=6

(1-x)2+(-y)2

，化簡得3x2+4y2=12即

x2

4

+

y2

3

=1
∴點P的軌跡方程是橢圓C：

x2

4

+

y2

3

=1
（2）解一：由幾何性質意義知，橢圓C與平行的切線其中一條l‘和l的距離等于Q與l的距離的最小值．
設l′：x+2y+D=0
代入橢圓方程消去x化簡得：16y²+12Dy+3（D²-4）=0∴△=144D²-192（D²-4）=0⇒D=±4
l′與l距離的最小值為

|12±4|

5

∴Q與l距離的最小值為

8 5

5

解二：由集合意義知，橢圓C與平行的切線其中一條l‘和l的距離等于Q與l的距離的最小值．設切點為R（x₀，y₀），則l′：

x0x

4

+

y0y

3

=1，且

x 2 0

4

+

y 2 0

3

=1k=-

3x0

4y0

=-

1

2

解得

x0=1 y0= 3 2

或

x0=-1 y0=- 3 2

∴l′為x+2y±4=0
l′與l距離的最小值為

|12±4|

5

∴Q與l距離的最小值為

8 5

5

解三：由橢圓參數方程設Q(2cosθ，

3

sinθ）
則Q與l距離d=

|2cosθ+2 3 sinθ-12|

5

=

12-4sin(θ+30°)

5

∴sin（θ+30°）=1時d_min=

12-4

5

=

8 5

5

解四：設Q（x₀，y₀），

x 2 0

4

+

y 2 0

3

=1
且Q與l距離d=

|x0+2y0-12|

5

由柯西不等式16=(

x 2 0

4

+

y 2 0

3

)(4+12)≥(

x0

2

•2+

y0

3

•2

3

)2=(x0+2y0)2，
∴|x₀+2y₀|≤4，
∴d_min=

12-4

5

=

8 5

5

點評：本題以向量的數量積的定義為載體，主要考查了直線與橢圓的位置關系的應用，注意體會了一題多解 的方法的應用．