Question

【題目】已知函數(shù)， .

（1）討論函數(shù)的單調區(qū)間；

（2）若， 恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）當時，函數(shù)在上單調遞增；當時，函數(shù)的單調遞增區(qū)間是，單調遞減區(qū)間是；（2）.

【解析】【試題分析】（1）依據(jù)題設條件運用導數(shù)與函數(shù)單調性之間的關系分類求解；（2）先將不等式進行等價轉化，再構造函數(shù)借助導數(shù)知識及分類整合思想分析求解：

（1），

（ⅰ）當時， ，函數(shù)在上單調遞增；

（ⅱ）當時，令，則，

當，即時，函數(shù)單調遞增；

當，即時，函數(shù)單調遞減.

綜上，當時，函數(shù)在上單調遞增；當時，函數(shù)的單調遞增區(qū)間是，單調遞減區(qū)間是.

（2）令，由（1）可知，函數(shù)的最小值為，所以，即.

恒成立與恒成立等價，

令，即，則，

①當時， （或令，則在上遞增，∴，∴在上遞增，∴，∴）

∴在區(qū)間上單調遞增，

∴，

∴恒成立，

②當時，令，則，

當時， ，函數(shù)單調遞增.

又， ，

∴存在，使得，故當時， ，即，故函數(shù)在上單調遞減；當時， ，即，故函數(shù)在上單調遞增.

∴，

即， 不恒成立，

綜上所述， 的取值范圍是.