Question

【題目】已知橢圓：經過點，離心率為，點為橢圓的右頂點，直線與橢圓相交于不同于點的兩個點.

（Ⅰ）求橢圓的標準方程；

（Ⅱ）當時，求面積的最大值；

（Ⅲ）若直線的斜率為2，求證：的外接圓恒過一個異于點的定點.

Answer 1

【答案】（I）；（II）；（III）.

【解析】

試題(I)根據已知橢圓上的一個點和離心率，列方程組，可求得的值.（II）當直線斜率不存在時，設出直線方程，代入橢圓方程，求出兩點坐標，代入，可求得直線方程，進而求得三角形的面積.當直線斜率存在時，設出直線方程，聯立直線的方程和橢圓的方程 ，寫出韋達定理，利用弦長公式和點到直線的距離公式計算得面積的表達式，并利用二次函數求最值的方法求得最大值.（III）設出直線方程和外接圓的方程，分別聯立直線的方程與圓、橢圓的方程，化簡后的兩個方程同解，通過對比系數可求得圓方程的表達式并求出定點坐標.

試題解析：

解：（Ⅰ）由題意知：且，

可得：，

橢圓的標準方程為.

（Ⅱ）當直線的斜率不存在時，設，與聯立得：

.

由于，得，解得或（舍去）.

此時，的面積為.

當直線的斜率存在時，設，與聯立得：

.

由，得；

且，.

由于，

得：.

代入式得：，

即或（此時直線過點，舍去）.

，

點到直線的距離為：.

的面積為，將代入得：

的面積為.

面積的最大值為.

（Ⅲ）設直線的方程為，聯立方程得：

①.

設的外接圓方程為：聯立直線的方程的：

②.

方程①②為同解方程，所以：.

又由于外接圓過點，則.

從而可得到關于的三元一次方程組：

，解得：.

代入圓的方程為：.

整理得：；

所以，解得或（舍去）.

的外接圓恒過一個異于點的定點.