Question

【題目】已知點為橢圓上任意一點，直線與圓交于兩點，點為橢圓的左焦點．

（Ⅰ）求橢圓的離心率及左焦點的坐標；

（Ⅱ）求證：直線與橢圓相切；

（Ⅲ）判斷是否為定值，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）答案見解析.

【解析】

（1）由題意可得，，據此確定離心率即可；

（2）由題意可得.分類討論和兩種情況證明直線與橢圓相切即可；

（3）設，，當時，易得．當時，聯立直線方程與橢圓方程可得，結合韋達定理和平面向量的數量積運算法則計算可得．據此即可證得為定值．

（1）由題意，，

所以離心率，左焦點．

（2）由題知，，即.

當時直線方程為或，直線與橢圓相切．

當時，由得，

即

所以

故直線與橢圓相切．

（3）設，，

當時，，，，

，

所以，即．

當時，由得，

則，，

．

因為

．

所以，即．

故為定值．