Question

如圖所示的幾何體是由以等邊三角形ABC為底面的棱柱被平面DEF所截而得，已知FA⊥平面ABC，AB=2，AF=2，CE=3，BD=1，O為BC的中點。
（1） 求證：AO∥平面DEF；
（2） 求證：平面DEF⊥平面BCED；
（3） 求平面DEF與平面ABC相交所成銳角二面角的余弦值。

Answer 1

解：（1）取DE的中點G，建系如圖，則A（0，，0）、B（0，-1，0）、C（1，0，0）、 D（-1，0，1），E（1，0，3）、F（0，，2）、G（0，0，2），
=（2，02），=（1，，1），
設平面DEF的一法向量=（x，y，z），
則即，不妨取x=1，則y=0，z=-1，
∴=（1，0，-1），平面ABC的一法向量=（0，0，1），=（0，，0），
=0，
∴，
又OA平面DEF，
∴OA//平面DEF；
（2）顯然，平面BCED的一法向量為=（0，1，0），=0，
∴平面DEF⊥平面BCED；
（3）由（1）知平面DEF的一法向量=（1，0，-1），平面ABC的一法向量=（0，0，1），
cos<>=，
∴求平面DEF與平面ABC相交所成銳角二面角的余弦值為。