Question

（2013•成都模擬）函數f（x）的定義域為D，若存在閉區間[m，n]⊆D，使得函數f（x）滿足：①f（x）在[m，n]上是單調函數；②f（x）在[m，n]上的值域為[2m，2n]，則稱區間[m，n]為y=f（x）的“倍值區間”．下列函數中存在“倍值區間”的有

①③④

（填上所有正確的序號）
①f（x）=x²（x≥0）；②f（x）=e^x（x∈R）；③f（x）=

4x

x2+1

(x≥0)；④f（x）=loga(ax-

1

8

)(a＞0，a≠1)．

Answer 1

分析：根據函數中存在“倍值區間”，則：①f（x）在[a，b]內是單調函數；②

f(a)=2a f(b)=2b

，或

f(a)=2b f(b)=2a

，對四個函數分別研究，從而確定是否存在“倍值區間”．

解答：解：函數中存在“倍值區間”，則：①f（x）在[a，b]內是單調函數；②

f(a)=2a f(b)=2b

，或

f(a)=2b f(b)=2a

．
①f（x）=x²（x≥0），若存在“倍值區間”[a，b]，
則

f(a)=2a f(b)=2b

，∴

a2=2a b2=2b

，∴

a=0 b=2

，
∴f（x）=x²（x≥0），若存在“倍值區間”[0，2]；
②f（x）=e^x（x∈R），若存在“倍值區間”[a，b]，
則

f(a)=2a f(b)=2b

，∴

ea=2a eb=2b

，
構建函數g（x）=e^x-x，∴g′（x）=e^x-1，
∴函數在（-∞，0）上單調減，在（0，+∞）上單調增，
∴函數在x=0處取得極小值，且為最小值．
∵g（0）=1，∴，g（x）＞0，∴e^x-x=0無解，故函數不存在“倍值區間”；
③f（x）=

4x

x2+1

（x≥0），f′（x）=

4(x2+1)-4x×2x

(x2+1)2

=

4(1+x)(1-x)

(x2+1)2

，
若存在“倍值區間”[a，b]⊆[0，1]，
則

f(a)=2a f(b)=2b

，∴

4a a2+1 =2a 4b b2+1 =2b

，∴a=0，b=1，若存在“倍值區間”[0，1]；
④f（x）=loga（ax-

1

8

）（a＞0，a≠1）．不妨設a＞1，則函數在定義域內為單調增函數
若存在“倍值區間”[m，n]，
則

f(a)=2a f(b)=2b

，

f(m)=2m f(n)=2n

，
∴

loga(am- 1 8 )=2m loga(an- 1 8 )=2n

，
∴2m，2n是方程loga（ax-

1

8

）=2x的兩個根，
∴2m，2n是方程a2x-ax+

1

8

=0的兩個根，
由于該方程有兩個不等的正根，故存在“倍值區間”[m，n]；
綜上知，所給函數中存在“倍值區間”的有①③④．
故答案為：①③④．

點評：本題考查新定義，考查學生分析解決問題的能力，涉及知識點較多，需要謹慎計算．