Question

【題目】已知項數為的數列滿足如下條件：①；②若數列滿足其中則稱為的“伴隨數列”.

（I）數列是否存在“伴隨數列”，若存在，寫出其“伴隨數列”；若不存在，請說明理由；

（II）若為的“伴隨數列”，證明：；

（III）已知數列存在“伴隨數列”且求的最大值.

Answer 1

【答案】（I）不存在，理由見解析；（II）詳見解析；（III）.

【解析】

（I）根據“伴隨數列”的定義判斷出正確結論.

（II）利用差比較法判斷出的單調性，由此證得結論成立.

（III）利用累加法、放縮法求得關于的不等式，由此求得的最大值.

（I）不存在.理由如下：因為，所以數列不存在“伴隨數列”.

（II）因為，

又因為，所以，所以，即，所以成立.

（III），都有，因為，，

所以，所以.

因為，

所以.

而，即，

所以，故.

由于，經驗證可知.所以的最大值為.