Question

如圖，在四棱錐P ?ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，DC∥AB，∠BAD＝90°，且AB＝2AD＝2DC＝2PD＝4，E為PA的中點．

(1)求證：DE∥平面PBC；

(2)求證：DE⊥平面PAB.

 

Answer 1

（1）見解析（2）見解析

【解析】(1)設PB的中點為F，連接EF、CF，EF∥AB，DC∥AB，

所以EF∥DC，且EF＝DC＝AB.

故四邊形CDEF為平行四邊形，可得ED∥CF.

又ED?平面PBC，CF?平面PBC，

故DE∥平面PBC.

(2)因為PD⊥底面ABCD，AB?平面ABCD，

所以AB⊥PD.

又因為AB⊥AD，PD∩AD＝D，AD?平面PAD，PD?平面PAD，所以AB⊥平面PAD.

ED?平面PAD，故ED⊥AB.又PD＝AD，E為PA的中點，故ED⊥PA；

PA∩AB＝A，PA?平面PAB，AB?平面PAB，

所以ED⊥平面PAB.