Question

已知圓M的方程為x²+（y-2）²=1，直線l的方程為x-2y=0，點P在直線l上，過P點作圓M的切線PA，PB，切點為A，B．
（1）若∠APB=60°，試求點P的坐標；
（2）若P點的坐標為（2，1），過P作直線與圓M交于C，D兩點，當CD=

2

時，求直線CD的方程；
（3）求證：經過A，P，M三點的圓必過定點，并求出所有定點的坐標．

Answer 1

分析：（1）設P（2m，m），代入圓方程，解得m，進而可知點P的坐標．
（2）設直線CD的方程為：y-1=k（x-2），由圓心M到直線CD的距離求得k，則直線方程可得．
（3）設P（2m，m），MP的中點Q(m，

m

2

+1)，因為PA是圓M的切線，進而可知經過A，P，M三點的圓是以Q為圓心，以MQ為半徑的圓，進而得到該圓的方程，根據其方程是關于m的恒等式，進而可求得x和y，得到經過A，P，M三點的圓必過定點的坐標．

解答：解：（1）設P（2m，m），由題可知MP=2，所以（2m）²+（m-2）²=4，
解之得：m=0，m=

4

5

，
故所求點P的坐標為P（0，0）或P(

8

5

，

4

5

)．
（2）設直線CD的方程為：y-1=k（x-2），易知k存在，
由題知圓心M到直線CD的距離為

2

2

，所以

2

2

=

|-2k-1|

1+k2

，
解得，k=-1或k=-

1

7

，故所求直線CD的方程為：x+y-3=0或x+7y-9=0．
（3）設P（2m，m），MP的中點Q(m，

m

2

+1)，
因為PA是圓M的切線，所以經過A，P，M三點的圓是以Q為圓心，以MQ為半徑的圓，
故其方程為：(x-m)2+(y-

m

2

-1)2=m2+(

m

2

-1)2
化簡得：x²+y²-2y-m（2x+y-2）=0，此式是關于m的恒等式，
故x²+y²-2y=0且（2x+y-2）=0，
解得

x=0 y=2

或

x= 4 5 y= 2 5

所以經過A，P，M三點的圓必過定點（0，2）或（

4

5

，

2

5

）．

點評：本題主要考查了圓方程的綜合運用．解題的關鍵是對圓性質的熟練掌握．