Question

【題目】如圖，半圓是某個旅游景點的平面示意圖，為了保護景點和方便游客觀賞，管理部門規劃從公路上某點起修建游覽線路，、、分別與半圓相切，且四邊形是等腰梯形．已知半圓半徑百米，每修建1百米游覽道路需要費用為20萬元，設與圓的切點為， （單位：弧度）．

（1）試將修建游覽道路所需費用表示為的函數；

（2）試求修建游覽道路所需最少費用為多少萬元？（精確到0.1，參考數據：）

Answer 1

【答案】（1），．（2）修建游覽道路所需最少費用約為69.3萬元．

【解析】

中，，所以，

由題意可求得，

，代入即可求出函數解析式；

換元，設，則，，根據導數求函數的最值．

（1）中，，所以，

設與半圓相切于點，

則由四邊形是等腰梯形知，

，且，，

中，

，

所以，

所以，

即，．

（2）設，則，，

因為，，令，解得．

列表如下：

		0
	↘	極小值	↗

從上表可知，當，即時，取得極小值，這個極小值就是函數的最小值，值為萬元．

答：（1）修建游覽道路所需費用表示為的函數為，．

（2）修建游覽道路所需最少費用約為69.3萬元．